수학적 모델: 자연 현상의 문제를 수학적 식을 이용하여 푸는 것
특징: 수학적 모델은 수학적 모델로 되기 위한 현상이나 과정이 있어야하고, 수학적 모델로 되기 위한 객체들의 중요한 성질을 표현하기 위한 수학적 구조와 현상 또는 과정과 수학적 구조 사이를 대응 시키기 위한 대응 관계가 필요
수학적 모델을 만드는 이유
1. 정보들이 비유된 형태로 표현되므로 정보들 간의 관계를 쉽게 알 수 있음
2. 어떤 계산을 할 때 매우 편리
3. 정보를 조사하거나 예측하는데 사용
수학적 모델링
1. 정의를 통해 용어의 뜻을 정함
2. 수학적 이론의 기본이 되는 공리 설정
3. 주어진 공리로부터 논리적 추론을 통해 결론 유도
4. 귀결된 성질, 직관으로부터의 성질로부터 정리를 개발
5. 정리를 증명하기 위해 논리의 법칙 및 수학적 증명 활용
6. 증명 후 수학적 대상에 응용 및 문제의 해답을 얻음
<정의와 문장>
정의: 용어의 뜻을 명확히 하기 위해서 사용되는 것
무정의 용어: 정의하지 않고 사용할 수 있는 일반적인 용어
문장: 무정의 용어와 정의된 용어를 사용하여 만듦
직관적 추론에 의하여 참 또는 거짓으로 구별 가능한 문장과 그렇지 못한 문장
<명제>
명제: 참이나 거짓 중 단 하나만 갖는 문장
공리: 참이라고 가정한 최초의 명제
진리값: 참과 거짓을 명제의 진리값이라 함
명제 변수: 진리값이 아직 밝혀지지 않은 임의의 명제
합성 명제: 주어진 명제들을 합성하여 새로운 명제를 만드는 것
<명제 종류>
1. 항진 명제: 항상 참의 진리값을 가지는 명제
2. 모순 명제: 항상 거짓의 진리값을 가지는 명제
3. 사건 명제: 항진 명제나 모순 명제가 아닌 나머지 명제들
<항등>
-논리적 동치란 p와q가 똑같은 진리값을 갖는 것을 말하고 논리적으로 동치인 명제로 명제들을 간단히 할 때 사용
* 멱등법칙, 교환법칙, 결합법칙, 드 모르간 법칙, 분배법칙, 항등법칙, 여 법칙, 이중 부정, 논리적 함축, 논리적 동치, 수출, 모순 , 대우
<논리 함축>
-수학적 논리에서의 논리 함축은 자연 언어에서의 의미와는 상당한 차이가 있음
- 명제에서는 명제의 의미나 구조와 관계없이 오직 명제들의 진리값만을 다루기 때문이다.
-->ex) p: 1+1=1이다. q: 7은 홀수 있다. 이때 논리 함축 p->q의 진리값을 구하여라
명제 p가 거짓이고 q는 참이므로 논리 함축 p->q의 진리값은 참이다. 따라서 1+1=1이면 7이 홀수가 된다는 의미이다.
-역: 명제의 가정과 결론에 대해서 가정은 결론으로, 결론은 가정으로 위치를 바꾼 것
-대우: 가정과 결론의 위치도 바꾸고 가정과 결론을 부정으로 바꾸는 것을 의미
*명제가 참이면 대우도 반드시 참
-이: 위치는 그대로 둔 채 가정과 결론들을 부정으로 만든 것