<행렬>
정의: 행(row)과 열(column)로 나열하는 것
-행렬의 각 성분은 실수여야 하고 이를 스칼라라고 한다.
*스칼라: 크기와 방향을 가지는 벡터에 대비하는 개념으로, 크기만 있고 방향을 가지지 않는 양
- 행렬 A를 mxn 행렬이라고 하며, m by n 행렬로 읽음
- 두 행렬이 같다 (equal) = 두 행렬이 mxn 행렬이고 대응하는 원소가 모두 같으면 A=B라고 표시
<행렬의 곱>
- A는 mxp 행렬이고 B는 pxn 행렬이라고 하자. 행렬의 곱 AB는 mxn 행렬이 된다.
* 행렬의 곱에 대한 교환 법칙은 성립하지 않는다 (AB!=BA)
* 결합법칙, 분배법칙 성립
<여러가지 행렬>
영행렬: 각 성분이 0인 성분을 가지는 행렬
- 교환 법칙, 결합법칙, 덧셈의 항등법칙(A+0=0+A=A) 성립
<특수행렬>
정방 행렬
1. 행과 열의 수가 같은 행렬
2. 행 (혹은 열)의 개수를 정방 행렬의 차수
3. N차 정방 행렬에서 대각선상에 위치한 원소 , 즉 A¡¡ (i=1,2,3,4,...) 을 주 대각 원소
4. 정방 행렬에 속학는 행렬: 대각 행렬, 단위 행렬, 스칼라 행렬, 전치 행렬, 대칭 행렬, 상삼각 행렬, 하삼각 행렬, 띠 행렬, 특이 행렬, 정칙 행렬, 역행렬, 직교 행렬
대각 행렬
1. D로 표시
2. 정방 행렬에서 주대각 원소를 제외한 나머지 원소가 모두 0인 행렬, (주대각 원소도 0 가능)
단위 행렬
1. I로 표시
2. 항등 행렬이라고도 부른다.
3. 주대각 원소들은 모두 1을 갖고, 주대각 원소를 제외한 나머지 원소들은 모두 0인 행렬
4. 대각 행렬의 기본
스칼라 행렬
- 주대각 원소들이 모두 같은 값을 갖는 대각 행렬
전치 행렬
- A가 임의의 nxm 행렬일 때 A의 전치 행렬은 A의 행과 열을 바꿔서 얻어진 mxn 행렬이다.
대칭 행렬
- 어떤 정방 행렬에서 자신과 자신의 전치 행렬이 똑같은 행렬
상삼각 행렬
- 주 대각의 원소의 아래쪽에 있는 모든 원소들이 0인 정방 행렬 (행과 열의 개수가 같은 행렬)
하삼각 행렬
- 주 대각의 원소의 위쪽에 있는 모든 원소들이 0인 정방 행렬
삼각 행렬
- 상삼각 행렬이거나 하삼각 행렬
특이 행렬
- 특이 행렬 A란 A의 역행렬이 존재하지 않는 행렬로 det(A)=0가 되는 행렬
*det(A) 구하는 방법
0x0 행렬 A
det(A)=0
1x1 행렬 A
2x2 행렬 A
nxn 행렬 A
정칙 행렬
- A의 역행렬이 존재하는 행렬로 det(A)!=0이 되는 행렬
역행렬
- 정방 행렬 A에 대해서 AB=BA=I를 만족하는 정방 행렬 B가 존재할 때 A는 가역이라 하고,B를 A의 역행렬이라 한다.
- 가역: 역행렬이 존재한다.
- 2차 정방행렬의 역행렬
직교 행렬
- 역행렬이 전치 행렬이 되는 행렬
부울 행렬
- 행렬의 원소들이 0이거나 1인 mxn 행렬
- 부울 행렬에서 사용하는 연산자는 접합, 교합, 부울곱의 세 가지 연산자가 있다.
- AVB=C 일때 A와 B의 접합이라 한다.
- A∧B=D 일 때 A와 B의 교합이라 한다.
- E⊙F=G 일 때 E와 F의 부울곱이라 한다.
* 접합과 교합은 두 행렬 A와 B의 크기가 같은 경우에만 가능, 부울곱은 행렬의 곱과 같이 행렬 A의 열의 크기와 행렬 B의 행의 크기가 같은 경우에만 연산이 가능하다.
- 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 성립
<행렬식 성질>
- 행렬식: det(A)
- 행렬 A의 각 원소의 행과 열이 바뀌어도(전치행렬) det(A)는 변하지 않는다
- 행렬식에서 두 개의 행이나 열을 서로 바꾸면 부호만 변한다.
- 행렬 A가 서로 비례하는 두 행 또는 두 열을 갖는 정방행렬이면 det(A)=0